Безкоштовно

Знайти власні числа матриці використовуючи метод обертання з точністю

views 79

Звіт з лабораторної роботи

Постановка задачі

Знайти власні числа матриці використовуючи метод обертання з точністю

Алгоритм

Розглянемо алгоритм методу обертання

Метод застосовуєтся до симетричної матриці A = AT, і полягає в виконанні ітераційних перетворень, які зводять її до діагонального виду: Λ = UAUT = diag(λi) – власні числа.

Нехай A – симетрична матриця, а G = G(i,j,Θ) – матриця повороту Ґівенса. Тоді матриця:

симетрична та подібна до A.

Елементи матриці A’ можна обчислити за формулами:

де s = sin(Θ) та c = cos(Θ).

Так як вони подібні, то A та A’ мають однакову норму Фробеніуса (суму квадратів всіх компонент), тим не менш, ми можемо обрати таке Θ, що A’ij = 0, і A’ має більшу суму квадратів на діагоналі:

Якщо прирівняти до нуля, і провести перетворення:

Щоб оптимізувати цей ефект, Aij обирають найбільшим за модулем недіагональним елементом, що називають опорним.

Метод Якобі постійно повторює обертання поки матриця не стане майже діагональною. Тоді елементи на діагоналі стають наближеннями власних значень A.

Написати коментар:

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *