Побудувати многочлен – лабораторна

Звіт з лабораторної роботи

Постановка задачі

1.     Побудувати многочлен 1 степеня найкращого рівномірного наближення. Знайти відхилення для функцій:

1.1.

1.2.

2.     Побудувати многочлен 2 степеня найкращого рівномірного наближення. Знайти відхилення для функції

2.1.

3.     Побудувати многочлен 3 степеня найкращого рівномірного наближення. Знайти відхилення для функції

3.1.

4.     Побудувати середньоквадратичне наближення для функції використовуючи базові функції:

4.1.

4.2.

Дослідити точність в вузлах.

Алгоритм

Для перших двох задач:

Шуканий багаточлен запишемо у вигляді

.

Оскільки  опукла, то різниця  може мати лише одну внутрішню точку екстремуму. Тому точки  є точками чебишовського альтернансу. Нехай  – третя точка чебишовського альтернансу. Згідно з теоремою Чебишова, отримаємо систему рівнянь:

Звідси  та .

Цю систему треба замкнути, використавши ще одне рівняння, яке отримаємо з умови, що  точка  є точкою екстремуму різниці . Тому для диференційованої функції  для визначення  маємо рівняння ( дотична і січна паралельні ):

.

Геометрично ця процедура виглядає наступним чином. Проводимо січну через точки . Для неї тангенс кута дорівнює . Проводимо паралельну їй дотичну до кривої , а потім пряму, рівновіддалену від січної та дотичної, яка і буде графіком . При цьому , , .

Для 2 та 3 задач:

Шуканий багаточлен можна подати у вигляді:

.

Середньоквадратичне наближення
Побудуємо елемент найкращого середньоквадратичного наближення (в подальшому ЕНСКН)

Теорема 1. Нехай ,  – ЕНСКН. Тоді

,                          (1)

Наслідок. Функцію  можна подати у вигляді , де , а

Знайти  ЕНСКН

(2)

означає знайти коефіцієнти .

Для виконання (1) достатньо, щоб , . Разом з формулою(2) це приводить до СЛАР для знаходження :

.                   (3)

Матриця СЛАР (3)  є матрицею Грамма лінійно незалежної системи функцій, тобто , що доводить існування та єдність ЕНСКН. Оскільки , то для розв’язку цієї системи використовують метод квадратних коренів.

Тоді  – система багаточленів Лежандра, які мають вигляд

.

Використовують також рекурентні формули

,

для яких додаємо умови .

Це ортогональна система

,

і тому .