Багатокритеріальна оптимізація в економіці

Лекція з математичного програмування на тему “Багатокритеріальна оптимізація в економіці”

1. Критерії економічної ефективності

У класичній постановці задачі математичного програмування передбачається одна цільова функція, яка кількісно визначена. У реальних економічних системах на роль критерію оптимальності (ефективності) претендують декілька показників. Наприклад, максимум чистого доходу від реалізації виробленої продукції чи максимум рівня рентабельності, мінімум собівартості виробленої продукції або мінімум витрат дефіцитних ресурсів. Крім того, бажаним є застосування кількох критеріїв одночасно, причому вони можуть бути взагалі несумісними. Наприклад, треба досягти максимальної ефективності виробництва за мінімальних витрат ресурсів. З точки зору математики дана задача є некоректною. Мінімальні витрати ресурсів – це нульові витрати, що мають місце за повної відсутності будь-якого процесу виробництва. Аналогічно максимальна ефективність може бути досягнута лише у разі використання певних обсягів (звичайно не нульових) ресурсів. Тому коректними є постановка задачі такого типу: досягти максимальної ефективності при заданих витратах чи досягти заданого ефекту за мінімальних витрат.

Оскільки не існує єдиного універсального критерію економічної ефективності, то досить часто вдаються до розгляду багатокритеріальної оптимізації.

Зараз розроблено математичні методи, що дають змогу будувати компромісні плани, тобто здійснювати багатокритеріальну оптимізацію.

2. Проблеми багатокритеріальної оптимізації в економіці

Розглянемо методи та моделі прийняття економічних управлінських рішень для розв’язування багатокритеріальних проблем, а також проблем прийняття рішень за умов ризику та (або) невизначеності щодо значень некерованих параметрів.

Задачі багатокритеріальної оптимізації трапляються в економіці повсюдно. Наведемо лише кілька прикладів:

– вибір транспортного маршруту (критерії – час, вартість);

– розподіл робіт комплексного проекту між окремими виконавцями (критерії – час, вартість та якість виконання проекту);

– планування діяльності фірми (критерії – прибуток та частка сегменту ринку, охопленого послугами або продукцією фірми);

– прийняття рішень щодо інвестування (в умовах ризику основними критеріями виступають очікуваний дохід та дисперсія доходу);

– розробка заходів з ліквідації наслідків надзвичайної ситуації (комплекси критеріїв соціального, екологічного, економічного та фінансового змісту);

– вибір об’єктів капіталовкладень (комплекс критеріїв, які характеризують стан та перспективи розвитку регіону та галузі, рівень виробничих потужностей підприємства, стан основних засобів виробництва, кадровий потенціал, організаційно-управлінський рівень, фінансову стійкість об’єкту інвестування).

У загальному вигляді багатокритеріальну задачу розглядають як задачу одночасної оптимізації декількох цільових функцій на заданій множині допустимих планів.

Дамо математичне формулювання такої задачі.

Нехай   Х = ( х1,  х2,…, хn  ) – вектор змінних які, як правило, припускаються невід`ємними  ( Х ≥ 0 ). Функціональна залежність змінних встановлюється певними співвідношеннями, на які накладаються обмеження:

gi  ( X )≤ bi                i =                                       ( 1 )

Функціонування  системи оцінюється певними критеріями, які записуються у вигляді цільових функцій  f k  ( X )     k =  . Множину критеріїв можна подати у вигляді векторної цільової функції:

F ( X ) =                              ( 2 )

Щоб мінімізувати частинний критерій  – fk (X), достатньо максимізувати – fk (X), оскільки   min  fk (X) = – max  fk (X). Тому в подальшому будемо припускати, що кожна компонента векторного критерію максимізується. Задача багатокритеріальної оптимізації записується як векторна задача математичного програмування:

знайти найбільше значення

F ( X ) =  → max,               ( 3)

при обмеженнях

gi  ( X )≤ bi                i =  ,                                    ( 4 )

і умовах на змінні

Х ≥ 0.                                                          ( 5 )

Будемо розглядати векторну задачу математичного програмування ( ВЗМП) (3)-(5) для випадку, коли точки оптимуму          , отримані при розв’язуванні задачі за кожним критерієм   fk     не збігаються          ( випадок їх збігу зустрічається дуже рідко і така задача не представляє інтересу ). Тому з математичної точки зору задача  (3)-(5) є некоректною, оскільки, якщо один з критеріїв досягає свого оптимуму, то покращення за іншими компонентами векторного критерію неможливо. Звідки випливає, що розв’язком векторної задачі математичного програмування може бути тільки якесь компромісне рішення.

Особливістю задач векторної оптимізації є наявність в області допустимих значень компромісів, в якій неможливе одночасне покращення всіх критеріїв. Плани, які належать області компромісів називають ефективними, або оптимальними по Парето (( Вільфредо Парето ( 1848 – 1932 ) – італійський економіст і соціолог), який вперше сформулював проблему векторної оптимізації і принцип оптимальності розв’язку ).

При розв’язуванні задач ринкової економіки з метою визначення ефективних  управлінських рішень щодо об’єкта управління, особа, що приймає (ОПР) керується власною системою переважань і володіє певною системою переважань, на основі якої здійснює вибір вирішення задачі, навіть, якщо наявність такої системи не завжди чітко усвідомлюється. Іноді система переважань тільки формується у процесі дослідження конкретної задачі. Згодом вона може і змінюватися. У будь-якому випадку з надходженням додаткової інформації про властивості задачі система переважань ОПР і інформація про неї під час дослідження задачі уточнюються або змінюються. Тому важливо мати засоби, щоб належним чином формалізувати переважання ОПР або, принаймні, апроксимувати її переважання.

3. Відношення переважності

Найважливіші взаємозв’язки між допустимими планами задачі прийняття рішень відбиваються бінарними відношеннями переважності. Основними бінарними відношеннями переважності є відношення «не гірше», «рівноцінно» та «краще».

Відношенням «не гірше» (будемо позначати символом «  ») називається таке бінарне відношення на множині Х, яке має дві визначальні властивості:

·        повноти:

1, х2  Х            ( х1 ≽ х2 )  ( х2 ≽ х1 );

·        транзитивності:

( х1 ≽ х2)  ( х2 ≽ х3)         ⇒     ( х1 ≽ х3 )   (  х1, х2, х3   Х ).

Звертаючись до завдання прийняття рішень відзначимо, що повнота відношення «не гірше» означає, що ОПР завжди може визначити, який саме з двох допустимих планів  х1 або  х2  є не гіршим від іншого відповідно до власних переважань. Транзитивність відношення «не гірше» означає, у свою чергу, що якщо ОПР вважає план  х1  не гіршим у порівнянні з планом х2 , а план  х2 не гіршим у порівняння з планом  х3  , то тоді перший план  х1  не гірший від третього плану  х3.

Повне бінарне відношення має властивість рефлективності. Отже, відношення «не гірше» рефлексивне:

х   Х     ⇒    х ≽ х  –  довільний елемент  завжди не гірший від самого себе.

Відношення переважності «не гірше» ( ≽ ) породжує два нових бінарних відношення переважності, які називаються «рівноцінність» ( ≈ ) і «краще» (  ):

( ≈ ) : ( х1 ≈ х2 )  ( х1 ≽ х2 )  ( х2 ≽ х1 )   (  х1, х2    Х );

(  ) : ( х1  х2 )  ( х1 ≽ х2 )  ( х2 ¬ ≽ х1 )   (  х1, х2    Х );

Зауважимо, що запис  х2 ¬ ≽ х1   означає: «неправильно, що  х2 ≽ х1», тобто що елемент х2  не знаходиться у відношенні переважності ≽  з елементом х1.

Нескладно переконатися в наявності таких властивостей відношення рівноцінності:

·        рефлективність:

х ≈ х    (  х   Х );

·        симетричність:

( х1 ≈ х2 )    ⇒     ( х2 ≈ х1)       (  х1, х2    Х );

·          транзитивність:

( х1 ≈ х2 )    ( х2 ≈ х3)      ⇒       ( х1 ≈ х3 )      (  х1, х2, х3   Х).

У теорії бінарних відношень відношення, що володіє зазначеними трьома властивостями, одержало також назву еквівалентності.

Відношення «краще», у свою чергу, має такі визначальні властивості:

·   асиметричність:

( х1  х2 )     ⇒     ( х2 ¬ ≻ х1 )             (  х1, х2    Х );

·   від’ємна транзитивність:

( х1 ¬ ≻ х2 )  ( х2 ¬ ≻ х3 )     ⇒     ( х1 ¬ ≻ х3 )      (  х1, х2    Х ).

Будь-яке асиметричне бінарне відношення одночасно є й анти рефлексивним. Отже, відношення «краще» антирефлексивне:

х¬ ≻ х          (  х   Х ).

Довільне асиметричне і від’ємна транзитивне бінарне відношення транзитивне. Тому можемо зробити висновок і про те, що відношення «краще» є транзитивним:

( х1  ≻ х2 )  ( х2  ≻ х3 )     ⇒     ( х1  ≻ х3 )      (  х1, х2, х3     Х ).

Поряд з основними бінарними відношеннями переважності «не гірше». «рівноцінно» і «краще» зручно розглядати також і породжувані ними допоміжні відношення переважності – «гірше» і «не краще». Вони вводяться практично очевидним способом.

А саме:

1)      якщо запис  х1  ≻ х2, коли ми говоримо, що елемент х1 є кращим від елемента  х2 , можна переписати як  х2  х1 , то в останньому випадку правильно говорити, що елемент х2 є гіршим від елемента  х1.

2)    якщо запис  х2 ≽ х1, коли елемент х1 не гірший від елемента х2, подати у вигляді  х2  х1 , то тоді напрошується висловлення, що елемент  х2 не кращий, аніж елемент х1.